△ABC三边各不相等,角A,B,C的对边分别为a,b,c且acosA=bcosB,则a+bc的取值范围是 _ .

△ABC三边各不相等,角A,B,C的对边分别为a,b,c且acosA=bcosB,则a+bc的取值范围是 _ .

题目
△ABC三边各不相等,角A,B,C的对边分别为a,b,c且acosA=bcosB,则
a+b
c
的取值范围是 ___ .
答案
∵△ABC中,acosA=bcosB,
∴根据正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,可得sin2A=sin2B.
又∵A、B∈(0,π),且A≠B,
∴2A+2B=π,得A+B=
π
2
,△ABC是以C为直角顶点的直角三角形.
因此,
a+b
c
=
a+b
a2+b2
=
(a+b)2
a2+b2
=
1+
2ab
a2+b2

∵a、b是不相等的正数,可得a2+b2>2ab>0,
2ab
a2+b2
∈(0,1),
a+b
c
=
1+
2ab
a2+b2
的取值范围为(1,
2
)

故答案为:(1,
2
)
根据acosA=bcosB,利用正弦定理与二倍角的公式化简得sin2A=sin2B,结合A≠B算出A+B=
π
2
,△ABC是以C为直角顶点的直角三角形.再根据勾股定理与基本不等式加以计算,可得
a+b
c
的取值范围.

正弦定理;三角函数中的恒等变换应用.

本题已知三角形满足的边角关系式,求

a+b
c
的取值范围.着重考查了正弦定理、二倍角的正弦公式与基本不等式等知识,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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