f(x)=x^3-x,设a>0,如果过点(a,b)作曲线y=f(x)的三条切线,证明－a

题目

f(x)=x^3-x,设a>0,如果过点(a,b)作曲线y=f(x)的三条切线,证明－a

答案

设切点的坐标为(t,f(t)) f'(x)=3x^2-1 过点点(a,b)的直线与曲线y=f(x)相切的直线方程 3t^2-1=[f(t)-b]/(t-a) 整理有 2t^3-3at^2+a+b=0 题意知道有三条切线,则有三个切点 也就是说t存在三个值 令G(t)=2t^3-3at^2+a+b G'(t)=6t^2-6at =6t(t-a) 令G'(t)=0 解出 t=0 或者 t=a>0 函数G(t)在(-∞,0)和(a,+∞)为增函数 在(0,a)为减函数 而G(t)=2t^3-3at^2+a+b=0存在三个不同的根 那么G(0)=a+b>0 即b>-a G(a)=-a^3+a+b