如图甲所示，A、B是一对平行放置的金属板，中心各有一个小孔P、Q，PQ连线垂直金属板，两板间距为d．现从P点处连续不断地有质量为 m、带电量为+q的带电粒子（重力不计），沿PQ方向放出

题目

如图甲所示，A、B是一对平行放置的金属板，中心各有一个小孔P、Q，PQ连线垂直金属板，两板间距为d．现从P点处连续不断地有质量为 m、带电量为+q的带电粒子（重力不计），沿PQ方向放出，粒子的初速度可忽略不计．在t=0时刻开始在A、B间加上如图乙所示交变电压（A板电势高于B板电势时，电压为正），其电压大小为U、周期为T．带电粒子在A、B间运动过程中，粒子间相互作用力可忽略不计．

（1）进入到金属板之间的带电粒子的加速度．
（2）如果只有在每个周期的0～

T

4

时间内放出的带电粒子才能从小孔Q中射出，则上述物理量d、m、q、U、T之间应满足的关系．
（3）如果各物理量满足（2）中的关系，求每个周期内从小孔Q中有粒子射出的时间与周期T的比值．

答案

（1）根据牛顿第二定律得：
加速度 a=

F

m

=

qE

m

=

Uq

dm

（2）粒子在

T

4

 时刻进入A、B间电场时，先加速，后减速，由于粒子刚好离开电场，说明它离开电场的速度为零，由于加速和减速的对称性，故粒子的总位移为加速时的2倍，所以有：
  d=2×

1

2

a(

T

4

)2=

qUT2

16md

  ①
即 d²=

qUT2

16m

（3）若情形（2）中的关系式①成立，则t=0时刻进入电场的粒子在电场中运动的时间最短（因只有加速过程）．设最短时间为t_x，则有：
  d=

1

2

a

t

2 x

  ②
在t=

T

4

时刻进入电场的粒子在t=

3T

4

的时刻射出电场，所以有粒子飞出电场的时间为：
△t=

3T

4

-t_x  ③
由②、③式得：

△t

T

=

3− 2

4

  ④
答：
（1）进入到金属板之间的带电粒子的加速度为

Uq

dm

．
（2）上述物理量d、m、q、U、T之间应满足的关系为d²=

qUT2

16m

．
（3）每个周期内从小孔Q中有粒子射出的时间与周期T的比值为

△t

T

=

3− 2

4

．

（1）进入到金属板之间的带电粒子的加速度根据牛顿第二定律和E=

U

d

结合求解．
（2）通过分析每个周期内带电粒子的运动情况，确定只有在每个周期的0～

T

4

时间内放出的带电粒子才能从小孔Q中射出时应满足的条件，根据牛顿第二定律和运动学公式求解各物理量之间应满足的关系．
（3）t=0时刻进入电场的粒子在电场中运动的时间为最短，由运动学公式求出最短时间，再求解与周期之比．

本题考点：带电粒子在匀强电场中的运动．

考点点评：本题关键是分析带电粒子的运动情况，确定出临界条件，运用牛顿第二定律和运动学规律结合进行求解．