已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.

已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.

题目
已知函数f(x)=
x
,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
答案
∵函数f(x)=
x
,g(x)=alnx,a∈R.
∴f′(x)=
1
2
x
,g′(x)=
a
x
(x>0),
由已知曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点处有相同的切线,
故有
x
=alnx且
1
2
x
=
a
x

解得a=
e
2
,x=e2
∵两条曲线交点的坐标为(e2,e)切线的斜率为k=f′(e2)=
1
2e

∴切线的方程为y-e=
1
2e
(x-e2).
先求出交点,再根据切线相等求出a,最后由直线上一点及斜率求出直线方程即可.

利用导数研究曲线上某点切线方程.

本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程,考查导数的几何意义,正确求导是关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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