已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
题目
已知函数f(x)=
,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
答案
∵函数f(x)=
,g(x)=alnx,a∈R.
∴f′(x)=
,g′(x)=
(x>0),
由已知曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点处有相同的切线,
故有
=alnx且
=
,
解得a=
,x=e
2,
∵两条曲线交点的坐标为(e
2,e)切线的斜率为k=f′(e
2)=
,
∴切线的方程为y-e=
(x-e
2).
先求出交点,再根据切线相等求出a,最后由直线上一点及斜率求出直线方程即可.
利用导数研究曲线上某点切线方程.
本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程,考查导数的几何意义,正确求导是关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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