在平面上给定一个△ABC,试判断平面上是否存在这样的点P,使得线段AP的中点为M,线段BM的中点为N,线段CN的中点为P?若存在,这样的点P有几个?若不存在,说明理由.

在平面上给定一个△ABC,试判断平面上是否存在这样的点P,使得线段AP的中点为M,线段BM的中点为N,线段CN的中点为P?若存在,这样的点P有几个?若不存在,说明理由.

题目
在平面上给定一个△ABC,试判断平面上是否存在这样的点P,使得线段AP的中点为M,线段BM的中点为N,线段CN的中点为P?若存在,这样的点P有几个?若不存在,说明理由.
答案
平面上是否存在这样的点P,只有一个.
作l∥AC,使l与AC的距离等于AC上高的
2
7

作m∥BC,使m与BC距离等于BC上高的
1
7
,交点为P,
AP中点M,连结BM,连结CP,延长交BM于N,
则点P为所求的点.

证明:如图,S1=S2=
1
7
S△ABC=S3
S4S5+S6
1−
3
7
2
2
7

S2,S3同底PC,它们在PC上的高相等,
S2,S3在PC上的高相等,也是S5,S6在PN上的高,
S5S6
1
7

S5,S6的高=P到BM的距离,故BM=MN,
S5=S3,故CP=PN.
平面上是否存在这样的点P,只有一个.作l∥AC,使l与AC的距离等于AC上高的
2
7
,作m∥BC,使m与BC距离等于BC上高的
1
7
,交点为P,点P为所求的点.

空间中直线与平面之间的位置关系.

本题考查满足条件的点的判断与求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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