椭圆C的2个焦点分别为F1F2,作C的长轴的垂线交C于P点,若三角形 F1PF2为等腰直角三角形 求椭圆C离心率.

题目

椭圆C的2个焦点分别为F1F2,作C的长轴的垂线交C于P点,若三角形 F1PF2为等腰直角三角形 求椭圆C离心率.
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答案

这道题里面焦点在X轴上和在Y轴上是一样的.不妨设其标准方程为 x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)
2种情况：
1：F1F2是底 那么为了保证F1P=F2P,此时P必为短轴顶点.所以b=c ,e=c/a=√2/2
2:F1F2是腰,那么P的纵坐标的绝对值就等于F1F2=2C P：(±c,y)带入椭圆
有 y^2/b^2 = (a^2-c^2)/a^2 = b^2/a^2,则 y =b^2/a =2c
2ac = a^2-c^2→ (c/a)^2+2(c/a)-1 = 0→e^2+2e-1=0
e=-1±√2,但是e>0 所以e=-1+√2
综上,e=√2/2或-1+√2