n是底数,指数是2/n

题目

n是底数,指数是2/n
证明其极限是1

答案

n是底数,指数是2/n和指数为1/n是一样的
显然n>1时,n^(1/n)>1
设n^(1/n)=1+an,则an>0 ,（n>1)
|n^(1/n)-1|=an
n=(1+an)^n
右边用二项式定理展开得
n=1+nan+n(n-1)/2*an^2+...an^n
>1+n(n-1)/2*an^2
0即 0<|n^(1/n)-1|<√(2/n)
对任意的ε>0
取N=[2/ε^2]
n>N时
|an|<√(2/n)<√ε^2=ε
所以n^(1/n)极限时1