f(x)=ax^2+bx+c,f(1)=0,g(x)=ax+b 若f(x)与g(x)交于AB两点,AB在x轴上的射影为A1B1 求|A1B1|的范围

题目

f(x)=ax^2+bx+c,f(1)=0,g(x)=ax+b 若f(x)与g(x)交于AB两点,AB在x轴上的射影为A1B1 求|A1B1|的范围
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答案

f(1)=0,则a+b+c=0
联立f(x),g(x)
ax^2+bx+c=ax+b
则ax^2+（b-a）x+c-b=0
△=（b-a）^2-4a（c-b）>0
(a+b)^2-4ac>0
a+b+c=0,则c^2>4ac.
则c>4a,c>0
c<4a,c<0
而AB在x轴上的射影为A1B1
则|A1B1|=|x1-x2|
利用伟达定理：
x1+x2=（a-b）/a
x1x2=(c-b)/a
则|x1-x2|
=根号[（x1+x2）^2-4x1x2]
=根号[[（a-b）/a]^2-4(c-b)/a]
=根号{[(a+b)^2-4ac]/a^2}
因为a+b+c=0
则代入得：
=根号{[c^2-4ac]/a^2}
=根号[(c/a-2)^2+4]
当c=2a时取得最小值2.（此时c<0）所以
|A1B1|>=2