一个极限求和问题?

题目

一个极限求和问题?
1/根(2n-1) + 1/[根(2n-1)+根(4n-4)] + 1/[根(4n-4)+根(6n-9)]
+ ...+ 1/[根（2(i-1)n-(i-1)^2)+根(2in-i^2)] + ...+
1/[根(2(n-1)*n-(n-1)^2)+根(2n*n-n^2)]
当n趋于无穷大时此式极限为什么为π/4

答案

引入记号
A=1/{[√(n^2-(n-i+1)^2)]+[√(n^2-(n-i)^2)]}
A1=∑(i从1到n)A
A2=lim(n->∞)A1
B=1/[2√(n^2-(n-i)^2)]
B1=∑(i从1到n)B
B2=lim(n->∞)B1
C=1/[2√(n^2-(n-i+1)^2)]
C1=∑(i从1到n)C,C2=∑(i从1到n+1)C
C3=lim(n->∞)C1,C4=lim(n->∞)C2
因为1/[根（2(i-1)n-(i-1)^2)+根(2in-i^2)]
=1/{[√(n^2-(n-i+1)^2)]+[√(n^2-(n-i)^2)]}
所以 B≤A≤C
B1≤A1≤C1＜C2
B2≤A2≤C3＜C4
又B=1/n[2√(1-(1-i/n)^2)]
所以B2=∫(0到1){1/2√[1-(1-x)^2]}dx(令1-x=sint)=∫(pi/2到0)[-cost/2cost]dt=∫(0到pi/2)1/2dt=pi/4
同理有C3