以椭圆的右焦点F2（F1为左焦点）为圆心作一圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于M、N，若直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率是 _ ．

题目

以椭圆的右焦点F₂（F₁为左焦点）为圆心作一圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于M、N，若直线MF₁是圆F₂的切线，则椭圆的离心率是 ___ ．

答案

由题意直线MF1是圆F2的切线，得MF1⊥MF2而圆F2的半径为椭圆的长半轴a，所以Rt△MF1F2中，MF2=OF=a，F1F2=2a∴sin∠MF1F2=12⇒∠MF1F2=30°∴MF1=3MF 2=3a再由椭圆的定义和离心率公式，得离心率为：e=F 1F...

圆的切线垂直于过切点的半径，故三角形MF₁F₂是直角三角形，再根据直角三角形中三角函数的定义，得出∠MF₁F₂=30°，最后结合椭圆的定义和离心率公式，可以求出此椭圆的离心率．

本题考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．

考点点评：本题考查了圆与圆锥曲线的综合、圆的切线和椭圆的简单性质等知识点，属于中档题．结合椭圆的基本性质和解直角三角来求解，是解决本题的关键．