3）设(A;*)是一个代数系统,“运算*”满足结合律,a是A中一个元素.若对A中任意元素x,都存在元素u和v,使得 a*u=v*a=x,证明A中存在单位元.

题目

3）设(A;*)是一个代数系统,“运算*”满足结合律,a是A中一个元素.若对A中任意元素x,都存在元素u和v,使得 a*u=v*a=x,证明A中存在单位元.

答案

先取x=a得到存在U和V满足aU=Va=a
然后对任何x,存在u,v使得x=au=va,那么
xU=vaU=va=x
Vx=Vau=au=x
所以U是右单位元,V是左单位元
进一步
V=VU=U