已知函数f(x)=xlnx,若a>0,b>0证明f(a)+(a+b)ln2>=f(a+b)-f(b)

题目

已知函数f(x)=xlnx,若a>0,b>0证明f(a)+(a+b)ln2>=f(a+b)-f(b)
用构造函数怎么证明

答案

设f为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点x1,x2和任意的实数λ∈(0,1),总有
f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),
则f称为I上的凸函数,也叫下凸函数.
改变不等号的方向就是凹函数,也叫上凸函数.
移项,得f(a)+f(b)>=(a+b)ln[(a+b)/2],两边同除以2,得[f(a)+f(b)]/2>=f[(a+b)/2]
因此,只要证明f(x)为R+上的凹函数,在定义式中取λ=1/2即证.
用二阶导数恒非负即可得函数为凹函数.
f'=1+lnx
f''=1/x>0在R+上恒成立,即证