已知三角形ABC,AD垂直于BC,M,N分别为三角形ABD三角形ACD三个内角角平分线的交点,连接MN并延长至AB,AC交AB

题目

已知三角形ABC,AD垂直于BC,M,N分别为三角形ABD三角形ACD三个内角角平分线的交点,连接MN并延长至AB,AC交AB
AC于E,F,求证AE=AF

答案

以D点为平面直角坐标系坐标原点,﹙即AD所在直线为Y轴,BC所在直线为X轴﹚,
分别设A、B、C的坐标为：A﹙0,a﹚、B﹙－b,0﹚、C﹙c,0﹚,
则由两点坐标可求AC、AB直线方程为：
AC：①y=﹙－a／c﹚x＋a,
AB：② y=﹙a／b﹚x＋a,
∵M、N分别是△ABD、△ACD内角平分线的交点,∴M点到BD、AD的距离相等,
∴可设M点坐标为M﹙－R,R﹚,同理可设N点坐标为N﹙r,r﹚,
∴MN直线方程为：③y=[﹙r－R﹚／﹙R＋r﹚]x＋2Rr／﹙R＋r﹚,
则直线MN与AC、AB的交点坐标可求,
由①③解得F 点坐标：
横坐标为：c﹙aR＋ar－2Rr﹚／﹙cr－cR＋aR＋ar﹚,
纵坐标为：a﹙2Rr＋cr－cR﹚／﹙cr－cR＋aR＋ar﹚,
同理由②③解得E点坐标：
横坐标为：b﹙2Rr－aR－ar﹚／﹙aR＋ar－br＋bR﹚,
纵坐标为：a﹙2Rr－br＋bR﹚／﹙aR＋ar－br＋bR﹚,
∴由两点距离公式代入化简得
AE²=AF²,
∴AE=AF.