对于幂函数y=x^a
所有的幂函数在(-∞,+∞)上都有各自的定义,并且图像都过点(1,1).
(1)当a>0时,幂函数y=x^a有下列性质:
a、图像都通过点(1,1)(0,0) ;
b、在第一象限内,函数值随x的增大而增大;
c、在第一象限内,a>1时,图像开口向上;0
d、函数的图像通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.
(2)当a<0时,幂函数y=x^a有下列性质:
a、图像都通过点(1,1);
b、在第一象限内,函数值随x的增大而减小,图像开口向上;
c、在第一象限内,当x从右趋于原点时,图象在y轴上方趋向于原点时,图像在y轴右方无限逼近y轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴[1].
(3)当a=0时,幂函数y=x^a有下列性质:
a、y=x^0是直线y=1去掉一点(0,1) 它的图像不是直线.
当a为整数时,a的正负性和奇偶性决定了函数的单调性:
①当a为正奇数时,图像在定义域为R内单调递增;
②当a为正偶数时,图像在定义域为第二象限内单调递减,在第一象限内单调递增;
③当a为负奇数时,图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);
④当a为负偶数时,图像在第二象限上单调递增,在第一象限内单调递减
当a为分数时,a的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性:
①当a>0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递增;
②当a>0,分母为奇数时,函数在第一三象限各象限内单调递增;
③当a<0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递减;
④当a<0,分母为奇数时,函数在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);
(3)当a>1时,
幂函数图形下凸(竖抛);当0
(4)在(0,1)上,幂函数中a越大,函数图像越靠近x轴;在(1,﹢∞)上幂函数中a越大,函数图像越远离x轴.
(5)当a<0时,a越小,图形倾斜程度越大.
(6)显然幂函数无界限.
(7)a=2n,该函数为偶函数 {x|x≠0}.
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