求两函数极限区间的题目
题目
求两函数极限区间的题目
1.设f(x)在[0,2a]上连续且发f(0)=f(2a)
证明:至少存在一点δ∈[0,a],使得f(δ)=f(δ+a)
2.设f(x)在(a,b)内连续,lim(x→a+)f(x)=A,lim(x→b-)f(x)=B,且AB<0.
证明:至少存在一点δ∈(a,b),使得f(δ)=0
因为这两个题是期末考试的题目,
答案
1.
令F(X)=f(x)-f(x+a)
F(0)=f(0)-f(a) F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0)
若f(a)=f(0) 则存在δ=a,使得 f(δ)=f(δ+a)
若f(a)≠f(0) 则F(0)与F(a)异号 根据连续函数的介值定理,存在δ∈(0,a)包含于[0,a]
使得F(δ)=f(δ)-f(δ+a)=0 即f(δ)=f(δ+a)
2. A x=a
令g(x)= f(x) x∈(a,b)
B x=b
由题意可知g(x)在[a,b]上连续
又因为AB
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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