已知f(x)是定义在R上的函数,对任意的x属于R都有f(x+6)=f(x)+2f(3),若函数f(x+1)的图像关于直线X=1对称,且f(-2)=2012,则f(2012)=

题目

已知f(x)是定义在R上的函数,对任意的x属于R都有f(x+6)=f(x)+2f(3),若函数f(x+1)的图像关于直线X=1对称,且f(-2)=2012,则f(2012)=

答案

题目要改,改成函数f(x+1)的图像关于直线x=-1对称 或者 f(x-1)的图像关于直线x=1对称,
如果不改题目此题不能做出来 这类题一般是往周期上靠
令t=x+1
得到函数f（t）的图像关于t=0对称
所以函数f（t）是偶函数
所以函数f（x）是偶函数
所以f（3）=f（-3）
f(x+6)=f(x)+2f(3) 令x=-3
得到f（3）=f（-3）+2f（3）=3f（3）
得到f（3）=0
所以f（x+6）=f（x）
f（2012）=f（335*6+2）=f（2）=f（-2）=2012