设函数f(x)=xex-ax2. (1)若a=1时,求x=1处的切线方程; (2)当x>0时,f(x)>0,求a的取值范围.
题目
设函数f(x)=xex-ax2.
(1)若a=1时,求x=1处的切线方程;
(2)当x>0时,f(x)>0,求a的取值范围.
答案
(1)当a=1,f(x)=xex-x2,∴f′(x)=(x+1)ex-2x,∴f(x)在x=1处的切线的斜率k=f′(1)=2e-2,又f(1)=e-1,即切点为(1,e-1),由点斜式,可得所求切线方程为y-(e-1)=2(e-1)(x-1),即2(e-1)x-y-e...
(1)将a=1代入f(x),求出f′(x),利用导数的几何意义,取出切线的斜率k,再由点斜式,即可求出f(x)在x=1处的切线方程;
(2)当x>0时,f(x)>0,转化为a<
,令g(x)=
,则利用导数求出g(x)的最小值,即可求得a的取值范围.
利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
本题考查了导数的几何意义,即利用导数求得在某点处的切线方程的斜率,根据直线方程的点斜式求得曲线在某点处的切线方程.考查了函数的恒成立问题,一般选用参变量分离的方法解决,转化成求函数的最值问题,涉及了利用导数求函数的最值.属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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