设函数f（x）=xex-ax2． （1）若a=1时，求x=1处的切线方程； （2）当x＞0时，f（x）＞0，求a的取值范围．

题目

设函数f（x）=xe^x-ax²．
（1）若a=1时，求x=1处的切线方程；
（2）当x＞0时，f（x）＞0，求a的取值范围．

答案

（1）当a=1，f（x）=xex-x2，∴f′（x）=（x+1）ex-2x，∴f（x）在x=1处的切线的斜率k=f′（1）=2e-2，又f（1）=e-1，即切点为（1，e-1），由点斜式，可得所求切线方程为y-（e-1）=2（e-1）（x-1），即2（e-1）x-y-e...

（1）将a=1代入f（x），求出f′（x），利用导数的几何意义，取出切线的斜率k，再由点斜式，即可求出f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当x＞0时，f（x）＞0，转化为a＜

ex

x

，令g（x）=

ex

x

，则利用导数求出g（x）的最小值，即可求得a的取值范围．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查了导数的几何意义，即利用导数求得在某点处的切线方程的斜率，根据直线方程的点斜式求得曲线在某点处的切线方程．考查了函数的恒成立问题，一般选用参变量分离的方法解决，转化成求函数的最值问题，涉及了利用导数求函数的最值．属于中档题．