被七除余一,被八除余二,被九除余四的自然数,

题目

被七除余一,被八除余二,被九除余四的自然数,

答案

设 x 除以 8 的商是 k,余数是 2.
x = 8k + 2 = 7k + (k + 2)
可以看出,要使 x 除以 7 后余数是 1,则必须有 k + 1 肯定是 7 的倍数.假设是 m 倍.那么有：
x = 7(7m - 1) + (7m - 1 + 2) = 56m - 6,m ≥ 1
同理,设 x 除以 9 的商是 l,余数是 4.
x = 9l + 4 = 8l + (l + 4)
可以看出,要使 x 除以 8 后余数是 2,则必须有 l + 2 肯定是 8 的倍数.假设是 n 倍.那么有：
x = 8*(8n -2) + (8n -2 + 4) = 72n - 14,n ≥ 1
因此：
x = 56m - 6 = 72n - 14
化简后可以得到 m 与 n 的关系式为：
56m + 8 = 72n
7m + 1 = 9n
所以,最小的一组 m 与 n 是：m = 5,n = 4
即最小的一个自然数是：x = 274