求解三道数列求和题

题目

求解三道数列求和题
(a-1)+(a的二次方-2)+…+(a的n次方-n)
(2-3*5的-1次方)+(4-3*5的-2次方)+.+(2n-3*5的-n次方)
1+2x+3*x的2次方+...+n*x的n-1次方
最好给出步骤

答案

①(a-1)+(a的二次方-2)+…+(a的n次方-n)
=(a+a的二次方+…+a的n次方)-(1+2+...+n)
=a(1-a的n次方)/(1-a)-n(1+n)/2
上题应该a不等于1,若等于1的话,自己代进去就OK了
②(2-3*5的-1次方)+(4-3*5的-2次方)+.+(2n-3*5的-n次方)
=(2+4+.+2n)-3(5的-1次方+5的-2次方+.+5的-n次方)
=2(2+2n)/2-3*5的-1次方(1-5的-n次方)/(1-5的-1次方)
=2+2n-3(1-5的-n次方)/4
③1+2x+3*x的2次方+...+n*x的n-1次方
设1+2x+3*x的2次方+...+n*x的n-1次方的和为Y,把1+2x+3*x的2次方+...+n*x的n-1次方中的每一项都乘个x,则有:
xY=x(1+2x+3*x的2次方+...+n*x的n-1次方)=1*x+2*x的2次方+...+n*x的n次方
所以有Y-xY=1+x+x的2次方+...+x的n-1次方+n*x的n次方
=(1+n*x的n次方)+(x+x的2次方+...+x的n-1次方)
=(1+n*x的n次方)+x(1-x的n-1次方)/(1-x)
注意相减的技巧,用Y的第n项减xY的n-1项
上题是设x不等于1,若等于1的话,自己代进去就OK了
以上三题主要考察的是对等比等差数列的公式掌握及一些运算变换(凑数列)