设M={x|f(x)=x},N={x|f(f(x))=x},（1）求证：M是N的子集(2)f(x)为单调递增时,是否有M=N?并证明.

题目

设M={x|f(x)=x},N={x|f(f(x))=x},（1）求证：M是N的子集(2)f(x)为单调递增时,是否有M=N?并证明.
我想问的是第二个问号,如果f（x）为单调递减时,为什么不行?如果f（x）=-x,此时M={X|f（x）=x}={0},而N={X|f[f(x)]=x}={0,1},∴M≠N.
为什么这时候N={0,1}呢?
我主要是想问为什么N={X|f[f(x)]=x}={0,1}?

答案

主要是因为第二问的证明用的是反证法,
若f(f(x0))=x0,假设f(x0)>x0
f(x)为单调递增,故f(f(x0))>f(x0)即x0>f(x0)矛盾
而如果是减就导不出来矛盾.
答案说如果f（x）=-x,此时M={X|f（x）=x}={0},而N={X|f[f(x)]=x}={0,1},∴M≠N.
这是在举一个为减函数M=N结论不成立的例子
f[f(x)]=x是恒成立当然N=R也有M≠N