已知抛物线y=8x2+10x+1 （1）试判断抛物线与x轴交点情况； （2）求此抛物线上一点A（-1，-1）关于对称轴的对称点B的坐标； （3）是否存在一次函数与抛物线只交于B点？若存在，求出符合条件

题目

已知抛物线y=8x²+10x+1
（1）试判断抛物线与x轴交点情况；
（2）求此抛物线上一点A（-1，-1）关于对称轴的对称点B的坐标；
（3）是否存在一次函数与抛物线只交于B点？若存在，求出符合条件的一次函数的解析式；若不存在，请说明理由．

答案

（1）令y=0，得8x²+10x+1=0，△=100-4×8＞0；
因此抛物线与x轴有两个不同的交点．
（2）易知：抛物线的对称轴为x=-

5

8

，
∴B（-

1

4

，-1）
（3）假设存在这样的一次函数，设一次函数的解析式为y=kx+b，已知直线过B点，则有：
-

1

4

k+b=-1，b=

k

4

-1，
∴y=kx+

k

4

-1．
依题意有：

y＝8x2+10x+1 y＝kx+ k 4 −1

，
则有8x²+10x+1=kx+

k

4

-1，
即8x²+（10-k）x+

8−k

4

=0；
由于两函数只有一个交点，
因此△=（10-k）²-8（8-k）=0，
即（k-6）²=0
∴k=6
∴一次函数的解析式为y=6x+

1

2

．

（1）令抛物线的y=0，可得出一个关于x的一元二次方程，如果△＞0，则抛物线与x轴有两个不同的交点；如果△=0，与x轴有一个交点；如果△＜0，与x轴无交点．
（2）根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴为x=-

5

8

，因此B点的坐标为（-

1

4

，-1）
另外一种解法：根据抛物线的对称性可将A点的纵坐标代入抛物线的解析式中，即可求出B点的坐标．
（3）应该有两条：
①过B点且与y轴平行的直线，即x=-

1

4

．
②设出一次函数的解析式，将B点坐标代入一次函数中，使一次函数的待定系数只剩一个，然后联立抛物线的解析式，可得出一个关于x的一元二次方程，由于两函数只有一个交点，因此方程的△=0，由此可求出一次函数的待定系数，即可得出一次函数的解析式．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、函数图象交点等知识点．