方程cos2x−23sinxcosx＝k+1有解，则k∈_．

题目

方程cos2x−2

3

sinxcosx＝k+1有解，则k∈______．

答案

由题意知，k=cos2x-2

3

sinxcosx-1=cos2x-

3

sin2x-1=2cos（2x+

π

6

）-1
当x∈R时，cos（2x+

π

6

）∈[-1，1]
∴2cos（2x+

π

6

）∈[-2，2]
∴2cos（2x+

π

6

）-1∈[-3，1]
即k∈[-3，1]
故答案为：[-3，1]

先把k表示出来，然后再用三角恒等变换的相关公式，构造正弦型或余弦型函数根据函数的有界性即可得解

本题考点：正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．

考点点评：本题考查三角恒等变换（倍角公式、和角公式）及三角函数值域的求解，求函数值域时需注意定义域，须能熟练应用公式．属简单题