由三块同一宽度的板做成一个梯形的排水槽(无上盖),问侧面与底的倾角α为多大时,才使水槽的横截面积最大?

题目

由三块同一宽度的板做成一个梯形的排水槽(无上盖),问侧面与底的倾角α为多大时,才使水槽的横截面积最大?

答案

设宽度为x,
S=x*(x+2xCosα)+2*1/2*xSinα*xCosα=x^2+2x^2Cosα+x^2CosαSinα=x^2(1+2Cosα+CosαSinα)
忽略x,因为x是常数,(1+2Cosα+CosαSinα)中对α求导：
d/dα(1+2Cosα+CosαSinα)=-2SInα+Cosα^2-Sinα^2,当导数为0时,
Cosα^2-Sinα^2=2Sinα,因为Cosα^2+Sinα^2=1,1-2Sinα^2=2Sinα,
2Sinα^2+2Sinα-1=0,解二次方程解得Sinα=1/2(-1+√3)或Sinα=1/2(-1-√3),因为α∈(0,2Pi),所以Sinα为正,舍去一根,得SInα=1/2(-1+√3),α=ArcSin1/2(-1+√3),没法化简了,这一点已经验证过了.