已知函数f(x)＝2sin2(π4+x)−3cos2x，x∈[π4，π2]． （Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值； （Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在定义域上恒成立，求实数m的取值范围．

题目

已知函数f(x)＝2sin2(

π

4

+x)−

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在定义域上恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（Ⅰ）∵f(x)＝[1−cos(π2+2x)]−3cos2x＝1+sin2x−3cos2x=1+2sin(2x−π3)．又∵x∈[π4，π2]，∴π6≤2x−π3≤2π3，即2≤1+2sin(2x−π3)≤3，∴f（x）max=3，f（x）min=2．（Ⅱ）∵|f（x）-m|＜2⇔f（x）-2＜...

（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对函数的解析式进行化简整理，进而根据x的范围和正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．
（Ⅱ）问题转化为f（x）-2＜m＜f（x）+2恒成立，进而利用（1）中函数的最大值和最小值，推断出m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2，求得m的范围．

本题考点：三角函数的最值；正弦函数的单调性．

考点点评：本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．