如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，点P是半径ON上的点.若⊙O的半径为l，则AP+BP的最小值为（　　） A.2 B.2 C.3 D.52

题目

如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是

AN

的中点，点P是半径ON上的点.若⊙O的半径为l，则AP+BP的最小值为（　　）
A. 2
B.

2

C.

3

D.

5

2

答案

作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小，
连接OA′，AA′，OB，
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AN^的中点，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=1，
∴A′B=

2

．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=

2

．
故选B．

本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．1

本题考点：垂径定理；线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理．

考点点评：正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．