什么是平均值不等式

什么是平均值不等式

题目
什么是平均值不等式
答案
均值不等式
几个重要不等式(一)
一、平均值不等式
设a1,a2,…,an是n个正实数,则,当且仅当a1=a2=…=an时取等号
1.二维平均值不等式的变形
(1)对实数a,b有a2+b2³2ab (2)对正实数a,b有
(3)对b>0,有,(4)对ab2>0有,
(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b) (6)对a>0,有
(7) 对a>0,有 (8)对实数a,b有a2³2ab-b2
(9) 对实数a,b及l¹0,有
二、例题选讲
例1.证明柯西不等式
证明:法一、若或命题显然成立,对¹0且¹0,取
代入(9)得有
两边平方得
法二、,即二次式不等式恒成立
则判别式
例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明:
(1)
(2)
证明:(1)左=[]
=
³
(2)由知
同理:
相加得:左³
例3.求证:
证明:法一、取,有
a1(a1-b)³b(a1-b),a2(a2-b)³b(a2-b),…,an(an-b)³b(an-b)
相加得(a12+ a22+…+ an2)-( a1+ a2+…+ an)b³b[(a1+ a2+…+ an)-nb]³0
所以
法二、由柯西不等式得:(a1+ a2+…+ an)2=((a1×1+ a2×1+…+ an×1)2£(a12+ a22+…+ an2)(12+12+…+12)
=(a12+ a22+…+ an2)n,
所以原不等式成立
例4.已知a1,a2,…,an是正实数,且a1+ a2+…+ an0,
则原不等式即nn+1a1a2…an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an)
1-a1=a2+a3+…+an+1³n
1-a2=a1+a3+…+an+1³n
…………………………………………
1-an+1=a1+a1+…+an³n
相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)³nn+1
例5.对于正整数n,求证:
证明:法一、
>
法二、左=
=
例6.已知a1,a2,a3,…,an为正数,且,求证:
(1)
(2)
证明:(1)
相乘左边³=(n2+1)n
证明(2)
左边= -n+2(
= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](
³ -n+2×n
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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