已知一个动圆与圆C:(x+4)2+y2=100相内切,且过点A(4,0),则动圆圆心的轨迹方程_.
题目
已知一个动圆与圆C:(x+4)2+y2=100相内切,且过点A(4,0),则动圆圆心的轨迹方程______.
答案
设动圆圆心为B,半径为r,圆B与圆C的切点为D,
∵圆C:(x+4)
2+y
2=100的圆心为C(-4,0),半径R=10,
∴由动圆B与圆C相内切,可得|CB|=R-r=10-|BD|,
∵圆B经过点A(4,0),
∴|BD|=|BA|,得|CB|=10-|BA|,可得|BA|+|BC|=10,
∵|AC|=8<10,
∴点B的轨迹是以A、C为焦点的椭圆,
设方程为
+=1(a>b>0),可得2a=10,c=4,
∴a=5,b
2=a
2-c
2=16,得该椭圆的方程为
+=1.
故答案为:
+=1 设动圆圆心为B,圆B与圆C的切点为D,根据相内切的两圆性质证出|CB|=10-|BD|=10-|BA|,可得|BA|+|BC|=10,
从而得到B的轨迹是以A、C为焦点的椭圆,根据椭圆的标准方程与基本概念加以计算,可得所求轨迹方程.
轨迹方程.
本题给出动圆满足的条件,求动圆圆心的轨迹方程.着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系和动点轨迹方程的求法等知识,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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