已知二次函数y=x²+bx+c在（-∞,1）上是减函数,在（1,+∞）上是增函数.有两个零点x1,x2且满足｜x1-x2｜=4,求这个二次函数的解析式

题目

已知二次函数y=x²+bx+c在（-∞,1）上是减函数,在（1,+∞）上是增函数.有两个零点x1,x2且满足｜x1-x2｜=4,求这个二次函数的解析式

答案

∵ （-∞,1）上是减函数,在（1,+∞）上是增函数
∴对称轴是x=1 即-b/（2a）=1,又已知a=1,∴b=-2
又由韦达定理可知,x1+x2=-b/a=-2……①
x1*x2=c/a=c……②
①^2-4*②=(x1-x2)^2=4-4c
又由｜x1-x2｜=4可知(x1-x2)^2=16
∴4-4c=16
∴c=-3
∴y=x²-2x-3