关于多元函数极限问题：当（X,Y→0,0）时（△X）（△Y/根号下△X^2+△Y^2）（sin1/根号下△X^2+△Y^2）=0

题目

关于多元函数极限问题：当（X,Y→0,0）时（△X）（△Y/根号下△X^2+△Y^2）（sin1/根号下△X^2+△Y^2）=0
上式用的是什么定理?是无穷小*有界=无穷小吗?如果是,在（X,Y→0,0）条件下如何证明（△Y/根号下△X^2+△Y^2）有界?
（X,Y→0，0）（△X）（△Y/根号下(△X^2+△Y^2)）（sin1/根号下(△X^2+△Y^2)）=0

答案

对啊,是用的有界乘无穷小.△Y/根号下(△X^2+△Y^2)肯定是有界的,你对它取绝对值,然后平方就得到：
△Y^2/(△X^2+△Y^2)
显然这是大于0小于1的么,有界.开方后得到|△Y|/根号下(△X^2+△Y^2),还是大于0小于1的,那不就是 △Y/根号下(△X^2+△Y^2)有界么.