弦AB和CD相交于圆O内一点P,且∠OPB=∠OPD,求证（1）弧AB=弧CD （2）PA=PC

题目

弦AB和CD相交于圆O内一点P,且∠OPB=∠OPD,求证（1）弧AB=弧CD （2）PA=PC

答案

如图：
过O分别作AB、CD的垂线,垂足为E、F；并连接OB、OD
可知：E、F是AB、CD的中点
因为∠OPB=∠OPD,OP=OP,
所以：△OPE≌OPF,所以,OE=OF
又因为OB=OD
所以△ODF≌OBE
所以DF=BE,所以AB=CD,所以弧AB=弧CD 
2、
有（1）：
AE=CF,且PE=PF
所以,PA＝PC