函数f(x)在闭区间[a,b]上严格单调且连续,f(a)=A,f(b)=B,证明f([a,b])=(A,B)
题目
函数f(x)在闭区间[a,b]上严格单调且连续,f(a)=A,f(b)=B,证明f([a,b])=(A,B)
答案
不妨设f(x)单调增,任取y0∈[A,B],定义g(x)=f(x)-y0,则g(a)<=0,g(b)>=0,由介值定理知存在x0∈[a,b]使f(x0)=y0,即[A,B]⊆f([a,b]);
另一方面,任取y1∈f([a,b]),由于f(x)单调增,必有A<=y1<=B,故y1∈[A,B],此即f([a,b])⊆[A,B].
综合以上,知f([a,b])=[A,B]
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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