已知在1kg水中最多加入akg糖，其中a＞0且为常数．在1kg水中加入xkg糖，设糖水浓度为f（x）． （Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域； （Ⅱ）请你用所学数学知识证明：增加放入水中的糖的质量

题目

已知在1kg水中最多加入akg糖，其中a＞0且为常数．在1kg水中加入xkg糖，设糖水浓度为f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域；
（Ⅱ）请你用所学数学知识证明：增加放入水中的糖的质量时糖水会越来越甜（需搅拌均匀且每1kg水加入糖不超过akg）．

答案

（Ⅰ）f(x)＝

x

1+x

，定义域[0，a]，
（Ⅱ）∵f（x）=

x

1+x

=1-

1

x+1

，
∴f′（x）=

1

(x+1)2

＞0，恒成立，
∴f（x）在[0，a]为增函数，
即增加放入水中的糖的质量时糖水会越来越甜

（Ⅰ）根据粘度的含义即可得到解析式，由题意得到函数的定义域，
（2）利用函数的单调性即可说明，

本题考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明．

考点点评：本题主要考察函数的解析式的求法和利用函数的单调性和解决实际问题，属于基础题．