求证:若a>0,b>0,c>0则a^a*b^b*c^c>=(abc)^(a+b+c)/3

题目

求证:若a>0,b>0,c>0则a^a*b^b*c^c>=(abc)^(a+b+c)/3

答案

证：要证原不等式
即证 a^3a*b^3b*c^3c≥ (abc)^(a+b+c)
∵a＞0,b＞0,c＞0
∴ (abc)^(a+b+c)＞0,a^3a*b^3b*c^3c＞0
相除有(a^3a*b^3b*c^3c)/(abc)^(a+b+c)≥1
化简a^(2a-b-c)*b^(2b-a-c)*c^(2c-a-b)≥1
再化简 a^[(a-b)-(c-a)]*b^[(b-c)-(a-b)]*c^[(c-a)-(b-c)]≥1
即（a/b）^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(c/a)^(c-a)≥1
∴要证原不等式
即证（a/b）^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(c/a)^(c-a)≥1
∵（a/b）^(a-b)≥1（分a＞b,a＜b讨论下就知道了）
同理)(b/c)^(b-c）≥1
(c/a)^(c-a)≥1
∴（a/b）^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(c/a)^(c-a)≥1
∴原不等式成立