已知a>0,则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是(  ) A.∃x∈R,12ax2-bx≥12ax20-bx0 B.∃x∈R,12ax2-bx≤12ax20-bx0 C.∀x∈R,12ax2-b

已知a>0,则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是(  ) A.∃x∈R,12ax2-bx≥12ax20-bx0 B.∃x∈R,12ax2-bx≤12ax20-bx0 C.∀x∈R,12ax2-b

题目
已知a>0,则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是(  )
A. ∃x∈R,
1
2
ax2-bx≥
1
2
a
x
2
0
-bx0

B. ∃x∈R,答案
由于a>0,令函数y=
1
2
ax2-bx=
1
2
a(x-
b
a
)2-
b2
2a
,此时函数对应的开口向上,
当x=
b
a
时,取得最小值-
b2
2a
,而x0满足关于x的方程ax=b,那么x0
b
a
,ymin=
1
2
ax02-bx0=-
b2
2a

那么对于任意的x∈R,都有y=
1
2
ax2-bx
-
b2
2a
=
1
2
ax02-bx0

故选C.
初看本题,似乎无从下手,但从题目是寻求充要条件,再看选项会发现构造二次函数求最值.

必要条件、充分条件与充要条件的判断.

本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识,考查了学生构造二次函数解决问题的能力.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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