已知n是正整数证明不等式1+1/√2+1/√3+……+1/√n

题目

已知n是正整数证明不等式1+1/√2+1/√3+……+1/√n<2√n

答案

放缩法
1/√n=2/2√n<2/[√n+√(n-1)]=2[√n-√(n-1)]
所以
1+1/√2+1/√3+.+1/√n<2[√1-0+√2-√1+√3-√2+.+√n-√(n-1)]
=2√n
用数学归纳法
证明如下：
(1)当n=1时,原不等式左边=1,右边=2,显然左边<右边,即n=1时,结论成立.
(2)假设n=k(k>=2),时结论1+1/√2+...+1/√k<2√k成立,则当n=k+1时,有
1+1/√2+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/(k+1)
注意到2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)
因为上式等价于2√(k^2+k)+1<2(k+1)
<=>2√(k^2+k)<2k+1
<=>4(k^2+k)<4k^2+4k+1
<=>0<1
显然成立.
于是当n=k+1时,1+1/√2+...+1/√k+1/√(k+1)<2√(k+1)成立.
综合(1)(2)两个方面,可知1+1/√2+1/√3+.+1/√n<2√n对n∈N*,均成立.
证毕.