如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别是AD、BC的中点,E、F分别是BM、CM中点. (1)求证:四边形MENF是菱形; (2)若四边形MENF是正方形,请探索等腰梯形ABCD的高和底边B

如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别是AD、BC的中点,E、F分别是BM、CM中点. (1)求证:四边形MENF是菱形; (2)若四边形MENF是正方形,请探索等腰梯形ABCD的高和底边B

题目
如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别是AD、BC的中点,E、F分别是BM、CM中点.

(1)求证:四边形MENF是菱形;
(2)若四边形MENF是正方形,请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系,并证明你的结论.
答案
(1)证明:∵四边形ABCD为等腰梯形,
∴AB=CD,∠A=∠D.
∵M为AD的中点,
∴AM=DM.(2分)
∴△ABM≌△DCM.(1分)
∴BM=CM.(1分)
∵E、F、N分别是MB、CM、BC的中点,
∴EN、FN分别为△BMC的中位线,
∴EN=
1
2
MC,FN=
1
2
MB,
且ME=BE=
1
2
MB,MF=FC=
1
2
MC.
∴EN=FN=FM=EM.
∴四边形ENFM是菱形.(1分)
(2)结论:等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半.
理由:连接MN,
∵BM=CM,BN=CN,
∴MN⊥BC.
∴MN是梯形ABCD的高.(2分)
又∵四边形MENF是正方形,
∴∠EMF=90°,
∴△BMC为直角三角形.
又∵N是BC的中点,
∴MN=
1
2
BC.(1分)
即等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半.
(1)根据等腰梯形的中位线的性质求出四边形四边相等即可;
(2)利用等腰梯形的性质和正方形的性质解答.

等腰梯形的性质;直角三角形斜边上的中线;三角形中位线定理;菱形的判定.

本题比较复杂,涉及面较广,需要同学们把所学知识系统化,提高自己对所学知识的综合运用运用能力.

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