已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下四个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③劣弧AE是劣弧DE的2倍；④AE=BC．其中正

题目

已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下四个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③劣弧

AE

是劣弧

DE

的2倍；④AE=BC．其中正确结论的序号是______．
答案

连接AD，OE，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC；
故②正确；
∵∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∠ABE=90°-∠BAC=45°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=22.5°；
故①正确；
∵∠DOE=2∠DAE=∠BAC=45°，∠AOE=2∠ABE=90°，
∴∠AOE=2∠DOE，
∴劣弧

AE

是劣弧

DE

的2倍；
故③正确；
∵∠BEC=∠AEB=90°，∠ABE=45°，∠EBC=22.5°，
∴△AEB不一定全等于△CEB，
∴AE不一定等于BC．
故④错误．
故答案为：①②③．

首先连接AD，OE，OD，由直径对的圆周角是直角，即可求得∠ADB=∠AEB=90°，又由AB=AC，根据等腰直角三角形的性质，即可求得BD=DC，求得∠ABC与∠ABE的度数，则可得①②正确，又可求得∠AOE与∠DOE的度数，根据弧与圆心角的关系，即可得③正确．

本题考点：圆周角定理；等腰三角形的性质．

考点点评：此题考查了圆周角定理、弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．