奇函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则不等式(x-1)f(x+1)>0的解集为( ) A.(-2,-1)∪(1,2) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-3,-1) D.
题目
奇函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则不等式(x-1)f(x+1)>0的解集为( )
A. (-2,-1)∪(1,2)
B. (-3,1)∪(2,+∞)
C. (-3,-1)
D. (-2,0)∪(2,+∞)
答案
∵函数f(x)是奇函数,在区间(-∞,0)上单调递减,且f (2)=0,
∴f (-2)=-f(2)=0,且在(0,+∞)上单调递减
故当x<-2或0<x<2 时,f(x)>0,当-2<x<0或x>2时,f(x)>0.
由不等式(x-1)•f(x+1)>0可得x-1与f(x+1)同号.
∴
或
∴
或
解不等式可得,-3<x<-1
∴不等式的解集为 (-3,-1)
故选C
由题意可得 f (2)=0,且在(0,+∞)上单调递减,故当x<-2或0<x<2 时,f(x)>0,当-2<x<0或x>2时,f(x)>0.由此易求得(x-1)•f(x+1)>0的解集.
奇偶性与单调性的综合.
本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用,体现了转化的数学思想,判断出当x<-2或0<x<2 时,f(x)>0,当-2<x<0或x>2时,f(x)>0,是解题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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