已知关于x,y的方程|6-x|+|x-2|+|y+2|+|y+3|=5,试求xy的最大值和最小值

题目

已知关于x,y的方程|6-x|+|x-2|+|y+2|+|y+3|=5,试求xy的最大值和最小值
还是那句话.

答案

⑴当x＞6时
若y＞－2,则
原式左边＝x－6＋x－2＋y＋2＋y＋3＝2x＋2y－3＞2×6＋2×(－2)－3＝5
若－3≤y≤－2,则
原式左边＝x－6＋x－2－y－2＋y＋3＝2x－7＞2×6－7＝5
若y＜－3,则
原式左边＝x－6＋x－2－y－2－y－3＝2x－2y－13＞2×6－2×(－3)－13＝5
⑵当2≤x≤6时
若y＞－2,则
原式左边＝6－x＋x－2＋y＋2＋y＋3＝2y＋9＞2×(－2)＋9＝5
若－3≤y≤－2,则
原式左边＝6－x＋x－2－y－2＋y＋3＝5
若y＜－3,则
原式左边＝6－x＋x－2－y－2－y－3＝－2y－1＞－2×(－3)－1＝5
⑶当x＜2时
若y＞－2,则
原式左边＝6－x＋2－x＋y＋2＋y＋3＝－2x＋2y＋13＞－2×2＋2×(－2)＋13＝5
若－3≤y≤－2,则
原式左边＝6－x＋2－x－y－2＋y＋3＝－2x＋9＞－2×2＋9＝5
若y＜－3,则
原式左边＝6－x＋2－x－y－2－y－3＝－2x－2y＋3＞－2×2－2×(－3)＋3＝5
可见,除了当2≤x≤6,且－3≤y≤－2时,原式成立外,其它情况原式的左边都比右边大
因此
当x＝2,y＝－2时,xy的最大值为－4
当x＝6,y＝－3时,xy的最小值为－18