用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体 (1)求证:所得截面MNPQ是平行

题目

用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体 (1)求证:所得截面MNPQ是平行
四边形; (2)如果AB=a,CD=b,AB,CD成θ角,求四边形
MNPQ面积的最大值

答案

设切面交BC于M,交BD于N,交AC于P,交AD于Q
∵　平面MNPQ∥AB,
∴ PM∥AB,QN∥AB
∴ PM∥QN,同理PQ∥MN,
因此PQMN是平行四边形
∵　PM∥AB,CD∥MN
∴ ∠PMN=θ
PM*MN= (AB*CM/BC)*(CD*BM/BC)
=ab* BM*CM*/(BM+CM)^2
≤ ab/4
S◇= PM*MN*sinθ
≤ ab*sinθ /4