设a、b、c均为正实数,求证:三个数a+1/b,b+1/c,c+1/a中至少有一个不小于2.

设a、b、c均为正实数,求证:三个数a+1/b,b+1/c,c+1/a中至少有一个不小于2.

题目
设a、b、c均为正实数,求证:三个数a+
1
b
,b+
1
c
,c+
1
a
中至少有一个不小于2.
答案
证明:假设a+
1
b
,b+
1
c
,c+
1
a
都小于2,则(a+
1
b
)+(b+
1
c
)+(c+
1
a
)<6

∵a、b、c∈R+
(a+
1
b
)+(b+
1
c
)+(c+
1
a
)
=(a+
1
a
)+(b+
1
b
)+(c+
1
c
)≥2+2+2=6
,矛盾.
a+
1
b
,b+
1
c
,c+
1
a
中至少有一个不小于2.
假设a+
1
b
,b+
1
c
,c+
1
a
都小于2,相加可得(a+
1
b
)+(b+
1
c
)+(c+
1
a
)<6
.再结合基本不等式,引出矛盾,即可得出结论.

反证法与放缩法.

用反证法证明数学命题的方法和步骤,把要证的结论进行否定,得到要证的结论的反面,是解题的突破口,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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