设a、b、c均为正实数，求证：三个数a+1/b，b+1/c，c+1/a中至少有一个不小于2．

题目

设a、b、c均为正实数，求证：三个数a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

中至少有一个不小于2．

答案

证明：假设a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

都小于2，则(a+

1

b

)+(b+

1

c

)+(c+

1

a

)＜6．
∵a、b、c∈R⁺，
∴(a+

1

b

)+(b+

1

c

)+(c+

1

a

)=(a+

1

a

)+(b+

1

b

)+(c+

1

c

)≥2+2+2＝6，矛盾．
∴a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

中至少有一个不小于2．

假设a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

都小于2，相加可得(a+

1

b

)+(b+

1

c

)+(c+

1

a

)＜6．再结合基本不等式，引出矛盾，即可得出结论．

本题考点：反证法与放缩法．

考点点评：用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．