如图，AB是 O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE=3，连接BD，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．（1）求 O的半径；（2）求证：EM是 O的切线；（3）若弦DF与直径AB相交于

题目

如图，AB是
O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE=3，连接BD，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．
（1）求
O的半径；
（2）求证：EM是
O的切线；
（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD=45°时，求图中阴影部分的面积．

答案

（1） 连接OE．∵DE垂直平分半径OA，∴OC=12OA∵OA=OE，∴OC=12OE，CE=12DE=32，∴∠OEC=30°，∴OE=ECcos30°=3232=3；（2）证明：由（1）知：∠AOE=60°，AE=AD，∴∠B=12∠AOE=30°，∴∠BDE=60°∵BD∥ME，∴∠M...

（1）首先连接OE，由弦DE垂直平分半径OA，根据垂径定理可求得OC与OE的关系，求得CE的长，然后根据直角三角形的性质，求得∠OEC=30°，根据三角函数的性质，则可求得⊙O的半径；
（2）由垂径定理，可得

AE

＝

AD

，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得∠B的度数，即可求得∠EDB的度数，又由EM∥BD，可求得∠MED的度数，继而求得∠MEO=90°，即可证得EM是⊙O的切线；
（3）由∠APD=45°，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得∠EOF的度数，然后根据S_阴影=S_扇形EOF-S_△EOF，即可求得答案．

本题考点：切线的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算；解直角三角形．

考点点评：此题考查了垂径定理，圆周角的性质，切线的判定，直角三角形的性质，以及平行线的性质等知识，此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．