在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°,设AA1=a. (1)求a的值; (2)求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角
题目
在直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,且异面直线A
1B与B
1C
1所成的角等于60°,设AA
1=a.
(1)求a的值;
(2)求平面A
1BC
1与平面B
1BC
1所成的锐二面角的大小.
答案
(1)∵BC∥B
1C
1,∴∠A
1BC就是异面直线A
1B与B
1C
1所成的角,
即∠A
1BC=60°,(2分)
连接A
1C,又AB=AC,则A
1B=A
1C∴△A
1BC为等边三角形,(4分)
由AB=AC=1,∠BAC=90°
⇒BC=,
∴
A1B=⇒=⇒a=1;(6分)
(2)取A
1B的中点E,连接B
1E,过E作EF⊥BC
1于F,
连接B
1F,B
1E⊥A
1B,A
1C
1⊥B
1E⇒B
1E⊥平面A
1BC
1⇒B
1E⊥BC
1又EF⊥BC
1,所以BC
1⊥平面B
1EF,即B
1F⊥BC
1,
所以∠B
1FE就是平面A
1BC
1与平面B
1BC
1所成的锐二面角的平面角.(8分)
在△B
1EF中,∠B
1EF=90°,
B1E=,
B1F=,∴
sin∠B1FE==⇒∠B
1FE=60°,(10分)
因此平面A
1BC
1与平面B
1BC
1所成的锐二面角的大小为60°.
(1)将B1C1平移到BC,∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角,在三角形A1BA内建立等式,解之即可;
(2)取A1B的中点E,连接B1E,过E作EF⊥BC1于F,连接B1F,B1E⊥A1B,A1C1⊥B1E,得到∠B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角,在△B1EF中解出此角即可.
平面与平面之间的位置关系.
本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
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