在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=B1C1=3,BB1=4,点B1在平面A1BC1上的射影为H,求证H为△A1BC1的垂心.

题目

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=B1C1=3,BB1=4,点B1在平面A1BC1上的射影为H,求证H为△A1BC1的垂心.

答案

连结AH,延长交C1B于E,连结B1E,连结CH,延长交AB于F,连结B1F,
∵C1B1⊥平面A1BB1,
A1B∈平面A1BB1,
∴B1C1⊥A1B,
∵B1H⊥平面A1BC1,
A1B∈平面A1BC1,
∴A1B⊥B1H,
∵B1C1∩B1H=B1,
∴A1B⊥平面B1C1F,
∵C1F∈平面B1C1F,
∴A1B⊥C1F,
∴C1F是△A1C1B中A1B边上的高,
同理BC1⊥平面AB1E,A1E∈平面A1B1E,
A1E∈平面A1B1E,
∴BC1⊥A1E,
∴A1E是△A1BC1中BC1边上的高,
∴H是△A1BC1两条高的交点,
∴H是△A1BC1的垂心.
三棱锥只要侧棱两两垂直,则顶点在底面的射影就是底三角形的垂心.