如图,BD是△ABC的角平分线.DE,DF分别为△BAD的高.求证BD垂直平分EF

题目

如图,BD是△ABC的角平分线.DE,DF分别为△BAD的高.求证BD垂直平分EF

答案

证：∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB∴∠ABD=∠CBD,∠DEB=∠DFB=90°∵在△BDE和△BDF中∠CBD=∠ABD∠DEB=∠DFBBD=BD∴△BDE≌△BDF(AAS)∴BE=BF∵在△BOE和△BOF中 //BD、EF交于OBO=BO∠CBD=∠ABDBE=BF∴△BOE≌△BOF(SAS)∴∠BOE=∠BOF,EO=FO又∵∠BOE+∠BOF=180°∴∠BOE=∠BOF=90°∴BD⊥EF又∵EO=FO∴BD垂直平分EF