从一块半径为R的半圆形钢板上截取一块矩形钢板，求矩形钢板面积的最大值．

题目

答案

如图所示，

设∠AOB=θ，则AB=Rsinθ，BC=2Rcosθ．
∴S_矩形ABCD=AB•BC=Rsinθ•2Rcosθ=R²sin2θ≤R²，
当且仅当θ＝

时取等号．
∴矩形钢板面积的最大值是R²．

如图所示，设∠AOB=θ，则AB=Rsinθ，BC=2Rcosθ．可得S_矩形ABCD=AB•BC=Rsinθ•2Rcosθ=R²sin2θ，再利用正弦函数的单调性即可得出．

本题考点：基本不等式．

考点点评：本题考查了利用三角函数的单调性求矩形面积的最大值，属于基础题．

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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