已知向量a=（sinx,cosx）,b=（√3cosx,cosx）,且b≠0,函数f（x）=2a（b-1/2a）

题目

已知向量a=（sinx,cosx）,b=（√3cosx,cosx）,且b≠0,函数f（x）=2a（b-1/2a）
1.求函数f（x）的对小正周期及单调递增区间
2.若a∥b,求tanx及cos2x/[f（x）+1]的值
3.要想得到函数y=sinx的图像,只需将函数f（x）的图像怎样变换?

答案

f(x)=2a·b-a.a
=2√3sinxcosx+2cos²x-1
=√3sin2x+cos2x
=2sin(2x+π/6)
(1) T=2π/2=π
函数f（x）的单调增区间
2kπ-(1/2)π≤2x+π/6≤2kπ+(1/2)π
kπ-(1/3)π≤x≤kπ+(1/6)π
增区间为[(k-1/3)π,(k+1/6)π],k∈Z
（2)若a平行b ,√3cos²x-sinxcosx=0,
b≠0,cosx≠0
∴ tanx=√3,求出sin2x=√3/2,cos2x=-1/2
f(x)+1=2sin(2x+π/6)+1=2
cos2x/[f（x）+1]=(-1/2)/2=-1/4
(3)要想得到函数y=sinx的图像,只需将函数f（x）的图像
纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到y=2sin(x+π/6)
再向左平移π/6个单位,得y=2sinx
横坐标不变,纵坐标变为原来的1/2,即得y=sinx