已知AB过x轴上的点A(3/2,0),且与抛物线y=ax^2相交于B,C两点,点B的坐标(1,1)

题目

已知AB过x轴上的点A(3/2,0),且与抛物线y=ax^2相交于B,C两点,点B的坐标(1,1)
（1）求直线和抛物线的解析式
（2）抛物线上是否存在一点D,使S△OAD=S△OBC?若存在,请求出点D的坐标；若不存在,请说明理由

答案

1、直线过AB,根据两点式
(y-0)/(1-0)=(x-3/2)/(1-3/2)
化简得 y=-2x+3
把(1,1)代入抛物线方程得 a=1
所以直线解析式为 y=-2x+3
抛物线解析式为 y=x^2
2、存在这样的点D
把y=-2x+3代入抛物线解得
x^2=-2x+3
x1=1,y1=1;x2=-3,y2=9
所以C点坐标(-3,9)
|BC|=√((-3-1)^2+(9-1)^2)=√80
根据点线距离公式,O到直线的距离为
|2*0+1*0-3|/√(2^2+1^2)=3/√5
S△OBC=(√80*3/√5)/2=6
设D(y^2,y),因为y>=0
S△OAD=|OA|*y/2=(3/2)*y/2=6
y=6*4/3=8
x^2=8
x1=-2√2,x2=2√2
所以D点的坐标为 (-2√2,8)或(2√2,8)