求极限x->0, lim[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x) 不用罗毕达法则

题目

求极限x->0, lim[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x) 不用罗毕达法则

答案

原式=lim(x->0) {[1+(a^x+b^x+c^x-3)/3]^[3/(a^x+b^x+c^x-3)]}^[(a^x+b^x+c^x-3)/3x]
利用两个重要极限之一
=lim(x->0) e^[(a^x+b^x+c^x-3)/3x]
=lim(x->0) e^[(a^x-1)/3x+(b^x-1)/3x+(c^x-1)/3x]
=e^[lim(x->0) (a^x-1)/3x+lim(x->0) (b^x-1)/3x+lim(x->0) (c^x-1)/3x]
利用等价无穷小替换(a^x-1)/x~lna
=e^[(lna)/3+(lnb)/3+(lnc)/3]
=(abc)^(1/3)