3用部分积分法求下列不定积分

题目

3用部分积分法求下列不定积分
∫（lnx）/(x^2) dx -（（lnx）+1）/ x+c
∫(ln(1+e^x))/(e^x) dx答案为x-(1+e^x)*ln(1+e^x)/ (e^x)+c
∫cos(lnx) dx x(cos lnx + sin lnx)/2+c

答案

1、设u=lnx,v’=1/x^2,
u’=1/x,v=-1/x,
原式=-(lnx)/x+∫dx/x^2
=-(lnx)/x-1/x+C.
2、设t=e^x,x=lnt,dx=(1/t)dt,
原式=∫ln(1+t)dt/t^2,
设u=ln(1+t),v’=1/t^2,
u’=1/(1+t),v=-1/t,
原式=-[ln(1+t)]/t+∫dt/[t(t+1)]= -[ln(1+t)]/t+∫dt/(t+1)- ∫dt/t
=-[ln(1+t)]/t+lnt-ln(t+1)+C
=-[ln(1+e^x)]/e^x-ln(1+e^x)+x+C
=x-ln(1+e^x)(1+e^x)/(e^x)+C.
3、∫cos(lnx) dx,
设t=lnx,x=e^t,dx=e^tdt,
原式=∫(cost)*e^tdt,
设u=e^t,v’=cost,
u’=e^t,v=sint,
原式=e^tsint-∫e^tsintdt,
对∫e^tsintdt再分部积分,
u=e^t,v’=sint,
u’=e^t,v=-cost,
∫e^tsintdt=-e^tcost+∫e^tcostdt,
∫(cost)*e^tdt =e^tsint-(-e^tcost+∫e^tcostdt]
=e^tsint+e^tcost-∫e^tcostdt,
2∫(cost)*e^tdt= e^tsint+e^tcost,
∴∫(cost)*e^tdt=( e^tsint+e^tcost)/2+C
∴∫cos(lnx) dx=x[sin(lnx)+cos(lnx)]/2+C.